LA ÓRBITA DE MARTE COMO LA DETERMINÓ KEPLER

Materiales: Hojas de papel milimetrado, compás, regla, escuadra y calculadora con funciones trigonométricas.

En este ejercicio repetiremos de forma simplificada y abreviada la célebre investigación por medio de la cual Kepler determinó la órbita de Marte y sus leyes de movimiento. Mientras Kepler trabajó con errores de 1' de arco, nosotros nos conformaremos con una precisión de 1°. Debe ponerse un gran cuidado en los dibujos incluso para esta modesta exactitud. Para Kepler fueron básicas las tablas de Tycho Brahe de la posición del Sol a lo largo de las estrellas a lo largo de un año; esto le permitió conocer la longitud heliocéntrica de la Tierra a lo largo de una vuelta o año. El ángulo fundamental a observar es la elongación E=STM o ángulo que forman vistos desde la Tierra, Marte y el Sol.

Especialmente importantes son los momentos de la oposición por que solo en estos instantes es conocida la longitud heliocéntrica de Marte al coincidir con la de la Tierra.

Por un proceso de interpolación la longitud heliocéntrica de Mar te puede conocerse en cualquier otro instante. De las observaciones de Tycho, Fabricius y del mismo Kepler, las oposiciones eran perfectamente conocidas en un periodo de 24 años. Para un número de días convenientemente seleccionados en años recientes las coordenadas observadas se resumen en la tabla 1

TABLA 1: POSICIONES DE MARTE

	FECHA JULIANA	DISTANCIA SOL-TIERRA	LONGITUD HELIOCENTRICA		ÁNGULO STM
FECHA			/DE LA TIERRA	/DE MARTE
21/4/1920	2.422.436	1,005	211°	211°	180°
9/3/1922	2.423.123	0,993	168°	211°	98º
11/6/1922	2.423.216	1,017	259°	259°	180°
25/1/1924	2.423.810	0,985	124°	211°	60°
24/8/1924	2.424.022	1,011	330°	330°	180°
11/7/1926	2.424.708	1,016	288°	330°	91°
4/11/1926	2.424.824	0,992	41°	41°	180°
28/5/1928	2.425.395	1,014	247°	330º	59°
21/9/1928	2.425.511	1,005	358°	41°	93°
22/12/1928	2.425.602	0,984	89°	89°	180°
9/8/1930	2.426.198	1,014	316°	41°	58°
28/1/1931	2.426.369	0,985	127°	127°	180°
14/12/1932	2.427.055	0,984	84°	127°	101°
2/3/1933	2.427.133	0,991	161°	161°	180°
1/11/1934	2.427.742	0,992	38°	127°	59°
7/4/1935	2.427.899	0,978	196°	196°	180°
20/5/1937	2.428.673	1,012	238°	238°	180°
23/7/1939	2.429.468	1,016	300°	300°	180°

La fecha Juliana fue introducida por José Scaliger para calcular los días transcurridos entre dos fechas sin tener presente los calendarios y se calcula mediante el applet de Java

La distancia Tierra Sol esta expresada en unidades astronómicas. 1U.A. =149.504.000 Km.

PROCEDIMIENTO

1. Determina el periodo sinódico de Marte

Este es el tiempo medio entre dos oposiciones consecutivas. Mira la fecha juliana y observa que este periodo no es siempre el mismo ¿Por qué?

Contestación:

La órbita de Marte es excéntrica y no es recorrida con movimiento circular uniforme. Cerca del perihelio el planeta va más rápido y le cuesta más a la Tierra alcanzarlo para lograr la oposición. Cerca del afelio el planeta va mas lento y es antes alcanzado por la Tierra. Así pues habrá periodos sinódicos largos cuando la oposición se realiza cerca del perihelio y periodos sinódicos cortos cuando la oposición es cerca del afelio. De la tabla 1 se observa que el periodo sinódico mayor es de 805 días y termina el 28-8-1924 con una oposición que ocurre a una longitud de 330° (que debe estar cerca de la longitud del perihelio). El periodo sinódico más corto es de 764 días y termina el 2-3-1933 con una oposición que ocurre a 161°. Hay una variación de 40 días ya observada por Tolomeo que ya hablaba de los retrasos y adelantos de Marte de hasta 20 días respecto a su marcha media. La técnica adoptada por Tolomeo para resolver estas irregularidades en la órbita de Marte, (irregularidades menores había también en los otros planetas) fue recurrir al ecuante con excéntrica es decir una combinación de movimientos circulares excéntricos hasta que Kepler demostró la verdadera órbita de Marte ¡una elipse!

CUESTIÓN:

Con el fin de hallar el periodo sinódico tomaremos el valor medio sobre varios años. Pero aún así un buen resultado no se podrá obtener si la primera y la última oposición de nuestro intervalo no ocurren en la misma parte de la órbita marciana. De la Tabla 1 encuentra una adecuada combinación o mejor considera dos y halla el valor medio. ¡Cuenta siempre los días en fechas julianas!

Contestación:

Si el principio y el final ocurren en la misma parte de la órbita marciana deben tener fechas lo más próximas posibles:

Combinación 1ª: Del 21-4-20 (Longitud=211°) al 7-4-35 (Longitud= 196°). Los periodos entre las oposiciones son 780, 805, 803, 778, 767, 764, 766 y el valor medio es Tsinod.=780.4 días.

Combinación 2ª: Del 11-6-24 (Longitud=259°) al 20-5-37 (Longitud= 238°). Los periodos entre las oposiciones son 805, 803, 778, 767, 764, 766, 774 y el valor medio es Tsinod.=779.6 días.

La media es Tsinod.=780.0 días.

CUESTIÓN:

Del periodo sinódico de Marte calcula su periodo sideral.

El periodo sideral es el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta en torno al Sol.

Contestación:

La Tierra describe su órbita alrededor del Sol, interior a la de Marte, por lo que lo hace en menos tiempo que Marte; ¡igual que dos corredores en una pista de atletismo!. Acabamos de averiguar que cada 780 días el corredor interior alcanza el que circula por el exterior porque ha dado una vuelta mas a la pista. Si n son las vueltas que da la Tierra al Sol antes de alcanzar a Marte, tenemos:

Tsinod.=780.0 días=365.24 n=Tsideral(n-1)

de donde n=780/365.24=2.1352

Tsideral=Tsinod./(n-1)=686.88 días.

CUESTIÓN:

Por un primer cálculo que no reproduciremos aquí, Kepler había determinado la forma precisa de la órbita de la Tierra. En una hoja de papel dibuja una circunferencia de 5 cm. de radio. Dibuja el origen de longitudes heliocéntricas que será una semirecta hacia la derecha (punto vernal o Aries.)

CUESTIÓN:

Para encontrar por triangulación un punto M de la órbita de Marte tomemos la oposición de 1920 y dibujemos la posición de la Tierra E1. Marte en ese momento estará en la línea Sol-Tierra trazada. Miremos ahora la posición de ambos planetas un año marciano mas tarde (686.88 días). Marte evidentemente ocupará la misma posición (mira la columna de longitudes) pero la Tierra ocupa otra posición E2. La fecha juliana de la oposición del 21-4-1920 es 2.422.436, un año marciano mas tarde es 2423123 que corresponde al 9-3-1922 y la longitud de la Tierra puedes leerla en la tabla (168°) y dibujarla E2.

El ángulo Sol-Tierra-Marte (Elongación) para ese instante ha sido medido (98°) así que la línea E2M de la Tierra hacia Marte puede trazarse. Su intersección con la línea E1M determina la posición de Marte.

CUESTIÓN:

Repite la misma construcción para un intervalo de dos años marcianos después de la oposición de 1920. Encontrarás la línea E3M. Las tres líneas deben cortarse en el mismo punto M. Elige la mejor aproximación.

Solución: Fecha juliana=2423123+687=2423810 que corresponde al 25-1-1924. Según tabla 1 longitud tierra=124° y elongación=60°.

TRATAMIENTO MATEMÁTICO DEL CÁLCULO DEL PUNTO M

La opción del cálculo del punto M mediante el dibujo no parece la más apropiada por lo que procederemos a un cálculo trigonométrico resolviendo el triángulo STM (Sol-Tierra-Marte). Sea Lo la longitud heliocéntrica de la Tierra durante la oposición (longitud de Marte) y L la longitud heliocéntrica de la Tierra al cabo de uno o dos años marcianos. En el triángulo el ángulo G=MST es fácilmente calculable por G=Lo-L. La elongación E es un dato así como la distancia ST=r1. El ángulo de fase F=TMS=180-(E+G) y por el Teorema de los Senos:

Conocidas las coordenadas polares (r,Lo) de Marte se pueden obtener las cartesianas mediante:

APLICACIÓN DEL PROGRAMA

¡Debes trazar la circunferencia que pase por tres puntos!

Se obtuvieron del dibujo los valores:

	Valor calculado	Valor real
Semieje mayor	a=1.535UA	a=1.5237UA
Distancia focal	c=0.135UA
Excentricidad	e=0.0879	e=0.09336
Longitud del perihelio	331°	335º

Cuestión: