TEORÍA HELIOCÉNTRICA DEL
MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS.

La retrogradación de los planetas.

Desde que Copérnico descubriese que los planetas giran en torno al Sol, y que la Tierra es un planeta mas, el movimiento retrogradado sólo es aparente y causado por el movimiento de la Tierra.
Así, parte del movimiento atribuido al planeta es causado realmente por el movimiento del observador situado en la Tierra.
Veamos el movimiento retrógrado.
Las sucesivas posiciones de la Tierra sobre una órbita circular se han designado en ambos diagramas por T1,T2, ... ,T8 y las correspondientes posiciones sucesivas del planeta por P1,P2, ... P8.
Las correspondientes posiciones aparentes del planeta se obtienen prolongando hasta cortar la esfera estelar una línea que une Ti con Pi y será designada por i = 1, 2, ...,8

Retrogradación de un planeta exterior

Tomemos por ejemplo Júpiter, que por estar más lejos del Sol que la Tierra, su velocidad angular y también lineal será inferior a la de la Tierra.
En la posición 1 están alineados la Tierra y el Sol y Júpiter, estando el Sol entre la Tierra y Júpiter (E=0) se dice que el planeta está en conjunción con el Sol, (reunión aparente de los dos astros), Júpiter tapado por la luz del Sol no es visible en este momento. Tras la conjunción, en la posición 2,el movimiento de Júpiter sobre el fondo de estrellas es directo es decir, de oeste a este, pero es contrarrestado por el movimiento hacia el este del Sol, así que en relación a éste, poco a poco se va alejando hacia el oeste solar, poniéndose antes del ocaso solar, por lo que no es visible y saliendo cada vez más pronto, antes del orto solar. Cuando el planeta se halla en una elongación E= 90º al oeste del sol en la posición 3, brilla durante las últimas horas de la noche, antes del orto solar, pasando por el meridiano al orto solar.

Cuando su elongación (E = 90º) al oeste del Sol, se dice que está en su cuadratura occidental.
Su movimiento directo de oeste a este va disminuyendo poco a poco y acaba por ser estacionaria respecto a las estrellas, en 4. Entonces la velocidad del planeta respecto de la Tierra, (resta de la velocidad del planeta y de la de la Tierra) es paralela a la recta que une la Tierra y el planeta

así que siendo toda la velocidad del planeta respecto a la Tierra radial y ninguna en la dirección perpendicular, el astro aparece estacionario sobre la bóveda celeste.
A partir de entonces, el planeta tiene movimiento retrógrado respecto a las estrellas.
Para Júpiter, alrededor de dos meses tras la posición estacionaria, el Sol, la Tierra y el planeta están nuevamente alineados (posición 5), pero ahora es la Tierra la que está entre los dos astros, la elongación es E=180º y el Sol está en oposición al planeta, y éste se encuentra a la mínima distancia de la Tierra, siendo, por tanto, mayor su brillo. Estando opuesto al Sol brilla durante toda la noche saliendo cuando el Sol se pone, culminando a medianoche y poniéndose al salir el Sol. Es el momento óptimo para su observación.
Dos meses más tarde aproximadamente, acaba para Júpiter el movimiento retrógrado del planeta, de este a oeste, y el planeta vuelve a estar estacionario, (posición 6).
A partir de ahí, el planeta recupera su movimiento directo hacia el este, y al llegar a la posición 7, su elongación es de E = 90º, al este del Sol, así cuando el Sol se pone, Júpiter culmina, por lo que es visible durante unas seis horas tras la puesta del Sol. A partir de entonces, el Sol, que se desplaza también en sentido directo y más rápido, le va ganando terreno, y se ve durante menos tiempo tras la puesta del Sol, disminuyendo la elongación, hasta que ésta vale nuevamente E = 0, estando el planeta otra vez en conjunción en 8.
Así pues, para un planeta superior la elongación adquiere cualquier valor.
La trayectoria en el cielo de un planeta exterior es:

En el intervalo entre dos conjunciones el planeta exterior describe en el campo de las constelaciones un bucle o lazo.
El tiempo que transcurre entre dos conjunciones o dos oposiciones se llama periodo sinódico. (La voz Sinódico, en griego, significa "reunión" o "conjunción")
El período sinódico de un planeta representa el periodo medio entre dos retrogradaciones o bucles y se refiere al movimiento geocéntrico u observado desde la Tierra.
Por la observación desde la más remota antigüedad sabemos que los períodos sinódicos de los planetas son :

Planeta	Marte	Júpiter	Saturno
Período sinódico	780 días	399 días	378 días

Retrogradación de un planeta interior.

Para un planeta interior (Mercurio o Venus) al estar dentro de la órbita de la Tierra, el valor de la elongación está limitado. siendo E<E max. con sen Emax=r siendo r la distancia heliocéntrica en UA, en cambio el ángulo de fase F, ángulo que forman el Sol y la Tierra, visto desde el planeta puede adquirir un valor cualquiera. El ángulo de fase está relacionado con la fase del planeta K, que es la porción de superficie iluminada. Se puede demostrar que:

Un planeta interior nunca puede estar en oposición.
Supongamos que partimos de la posición 1, donde la Tierra, el Sol y el planeta están alineados, estando el planeta a la otra parte del Sol. Se dice entonces que el planeta está en conjunción superior, siendo entonces máxima su distancia a la Tierra. Su ángulo de fase F =0
Entonces se desplaza en movimiento directo hacia el este y como su desplazamiento es mayor que el solar (también hacia el este) por ser la velocidad de Mercurio o Venus mayor que la de la Tierra, se desplaza respecto al Sol hacía el este, con lo que cada vez se pone más tarde que el Sol, pero debido a su proximidad al Sol, Venus no se ve aproximadamente un mes antes y después de la conjunción superior.
Con posterioridad se ve como una, estrella vespertina al poniente.
Así va aumentando su elongación oriental hasta alcanzar la máxima elongación oriental, cuyo valor depende del periodo sinódico concreto, pero que como valor máximo alcanza 28,5º para Mercurio, y casi 48º para Venus. Así pues, Mercurio no se pone nunca, ni sale, más de un par de horas antes o después del Sol; mientras que Venus no se pone nunca cuatro horas más tarde que el Sol. Su movimiento hacia el este sigue siendo cada vez menor y algo después de su máxima elongación este, su velocidad V respecto a la Tierra y radio vector, R respecto a la Tierra son paralelos, así que el planeta es estacionario iniciando su movimiento retrógrado que dura 23 días para Mercurio y 42 días para Venus.
A mitad de la retrogradación, el planeta está alineado con el Sol y la Tierra, está entre los dos. Se dice que está en conjunción inferior. Su F =180, así que K = 0, por lo que presenta el disco no iluminado por el Sol. (No se ve por ser similar a la Luna nueva). Es la posición 4.
Con posteridad el planeta tiene una elongación occidental.
Es claro, que como antes un mes antes y después de la conjunción inferior el planeta Venus ha dejado de ser visible por estar muy cerca del Sol.
Reaparece como estrella matutina, pues sale un poco antes del orto solar y cada vez sale más pronto, separándose, del Sol y brillando poderosamente en la aurora matutina.

En la posición 5, el planeta vuelve a ser estacionario interrumpiendo su movimiento retrógrado para reanudar el movimiento directo hacía el este. Un poco después el planeta alcanza su máxima elongación occidental (posición 6), entonces F = 90 y la fase es 1/2 (como la Luna en cuarto creciente).
Con posteridad va disminuyendo su elongación oeste y aumentando su fase hasta que un mes antes de la conjunción superior (posición 7) desaparece como estrella matutina reapareciendo 2 meses después como vespertina.
Al igual que antes, llamaremos período sinódico, al empleado por el planeta entre dos configuraciones geocéntricas iguales, y para Venus es de 584 días (19 meses y medio; tal como ya había determinado Tolomeo). De este ciclo permanece visible 7 meses como la "estrella vespertina" y otros 7 como el "Lucero del Alba", entre estas dos épocas permanece invisible durante algo más de un par de meses alrededor de coda conjunción.
Mientras Mercurio presenta un periodo sinódico de 116 días, pasando la máxima visibilidad matutina a la vespertina en 1 mes y medio, su rápido movimiento en contraste con los lentos movimientos de los planetas exteriores le hizo merecedor del nombre de "mensajero de los dioses".
Las configuraciones de un planeta interior son:

Relación entre la revolución sinódica y la siderea

Se llama revolución sinódica al periodo de tiempo transcurrido entre dos configuraciones geométricas iguales. La palabra sinódico proviene del griego y significa reunión o conjunción.
El periodo sinódico es el que observamos desde la Tierra y es fácilmente medible. Tolomeo y Copérnico lo conocían para todos los planetas, tanto inferiores (interiores) como superiores (exteriores).
La revolución sinódica es el período de tiempo transcurrido, por ejemplo, entre dos retrogradaciones.
La revolución sideral, por el contraria se refiere al período de tiempo que tarda el planeta en dar la vuelta al Sol y es un concepto típico de la Teoría heliocéntrica.
Relacionemos ambos conceptos:

a)Para un planeta interior:

Supongamos que el planeta P y la Tierra están en conjunción inferior; y llamemos N al periodo sinódico que emplearán en volver a estar en conjunción inferior.
Sea S el período sidéreo que tarda el planeta en dar la vuelta al Sol, y T el periodo sidéreo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol, y que cabe cifrar en un año (365,25 días).

Al instante siguiente el planeta interior más rápido habrá dejado atrás a la Tierra. Se producirá otra conjunción inferior cuando el planeta, tras dar una vuelta más al Sol que la Tierra, alcance a ésta.
Así, si llamamos n al movimiento medio neto del planeta (velocidad angular) se cumplirá:

para un planeta interior.
El mismo resultado se obtiene suponiendo que el planeta recorre durante el período sinódico un ángulo de 360º más que el ángulo recorrido por la Tierra.
Copérnico usó esta ecuación para conocido N y T calcular S.
Así obtuvo:

Planeta	N	1/N	1/T	1/S	S
Mercurio	116 días	0,00862	0,00274	0,01136	88 días
Venus	584 días	0,00171	0,00274	0,00445	224 días

b) Para un planeta exterior:

Supongamos que el planeta exterior está en oposición con la misma notación de antes para N, S, T; resulta que en un instante posterior, la Tierra en virtud de su mayor velocidad habrá dejado atrás al planeta exterior. Se producirá otra oposición cuando la Tierra, tras dar una vuelta más al Sol que el planeta, alcance a éste. Así llamamos n al movimiento medio neto de la Tierra. Se cumplirá:

para un planeta exterior.

Ejercicios:
1.-Obtener el mismo resultado suponiendo que la Tierra recorre un ángulo de 360º más que el planeta durante un periodo sinódico.
2.- Resolver el mismo problema para planetas interiores como exteriores, mediante la suma de infinitos términos de una Progresión geométrica de razón menor que 1

Copérnico sabía N y T, y de la ecuación dedujo S.

Planeta	N	1/N	1/T	1/S	S
Marte	780 días	0,00128	0,00274	0,00146	687 días
Júpiter	399 días	0,00251	0,00274	0,00023	4278 días=11,7 años
Saturno	378 días	0,00265	0,00274	0,00009235	10828días=29,6años

Determinación de las distancias de los planetas al Sol.

Ya Copérnico pudo determinar no sólo el orden de las órbitas, sino también los tamaños relativos tomando la distancia Sol-Tierra como unidad. La determinación de las distancias de los planetas interiores a la órbita de la Tierra (Mercurio y Venus) y exteriores, se hace por procedimientos totalmente distintos.

Determinación del tamaño de la órbita de un planeta interior.

Un planeta interior a la órbita de la Tierra no podrá alejarse nunca demasiado del Sol. La elongación máxima se produce cuando la recta que une la Tierra y el planeta es tangente a la órbita heliocéntrica del planeta interior
Para obtener el tamaño relativo de la órbita, basta resolver el triángulo SPT, se cumple sen E max = r donde r está en UA o unidades de distancia relativas tomando 1 la distancia Sol-Tierra.
Así pues, la dimensión relativa de la órbita de los planetas interiores puede ser deducida a partir de la observación. Sabemos que E Max< 23º, para Mercurio y E max = 45º para Venus, así que los radios de las órbitas heliocéntricas de Mercurio y Venus son respectivamente:
r=sen 23º = 0,391 (Mercurio)
r=sen 45º = 0,707 (Venus)
Para el caso de Mercurio el valor de la elongación máxima representa un valor medio pues ésta depende de la época del año en que se produce a causa de la elevada excentricidad de la órbita de Mercurio.

Determinación del tamaño de la órbita de un planeta exterior.

Para cualquier planeta exterior una observación similar pero más compleja permite determinar también las distancias relativas. Para ello, Copérnico, determinó las épocas de las cuadraturas y las longitudes correspondientes del Sol. Veamos cómo hacía el cálculo de la distancia

1.-Obtención del período sinódico del planeta:

Se hace observando el tiempo entre dos oposiciones. En el caso de Júpiter el periodo sinódico N = 1 año y 34 días.
Así el planeta es alcanzado por la Tierra (oposición) con un mes aproximado de retraso, debido al movimiento de Júpiter en su órbita.
En el año 1976, la oposición de Júpiter ocurrió el 18 Noviembre, el 23 de Diciembre en 1977, el 24 Enero en 1979 etc...Puedes obtener un listado de fechas de oposiciones de Júpiter y oposiciones de Marte

2.Obtención del período sidereo del planeta:

Del periodo sinódico se puede obtener, mediante la relación, el período sidéreo que es el tiempo que emplea Júpiter en completar una vuelta en su órbita

También se puede obtener partiendo del hecho de que tras el periodo sinódico la Tierra ha dado una vuelta más que Júpiter:
Angulo recorrido Tierra =Angulo recorrido planeta +360º

El valor correcto es 11 años y 314 días.

3.-Método de las cuadraturas

Supongamos que en un determinado instante el Sol, la Tierra y el planeta estuviesen alineados; en tal disposición el planeta atraviesa el meridiano justamente a medianoche, y está diametralmente opuesto al Sol, y en plena retrogradación. Puesto que el planeta recorre su órbita más lentamente que la Tierra, habrá un instante posterior en el que el triángulo ST’P’ sea rectángulo en T' encontrándose el planeta en cuadratura.

La determinación del ángulo ST'P'= elongación se hace fácilmente desde la Tierra, mediante al observación del ángulo que forman el Sol y el planeta. Así, por ejemplo, en el año 1981 la oposición tuvo lugar el 26 de Marzo a las 6 horas TU, mientras que la cuadratura oriental ocurrió el 23 de Junio a las 0 horas TU. Se puede pues cifrar en 88 días y 3/4 el tiempo que tardó la Tierra en desplazarse de T a T.' Por tanto el ángulo T'ST es:

(Aquí hay un error debido a que la Tierra no recorre su órbita con movimiento uniforme).
Un cálculo exacto cifra el ángulo en 85,9630).
El ángulo PSP' descrito por Júpiter también es conocido, puesto que como sabemos su periodo sidéreo conocemos su movimiento medio:

(Aquí vuelve a haber el mismo error respecto a Júpiter que no posee movimiento uniforme, el ángulo real es 6,6212º).
En el triángulo rectángulo ST'P' se calcula fácilmente

siendo r la distancia relativa de Júpiter al Sol. Por tanto: r=5,77 veces la distancia Sol-Tierra.
Lo primero que sorprende de dicho cálculo es que está bastante alejado del r = 5,2 que es el valor correcto y que invariablemente colocan los historiadores como resultado del simplificado cálculo que hizo Copérnico.
Copérnico no da la distancia de los planetas exteriores en unidades astronómicas, sino que para cada uno indica la razón de las distancias Sol-Tierra a la distancia Sol-planeta. De ellas se deducen sin dificultad las distancias.
He aquí los valores que expone en su obra comparados con los actualmente admitidos:

Planeta	Valores de Copérnico	Valores actuales
Mercurio	0,386	0,387
Venus	0,719	0,723
Marte	1,520	1,524
Júpiter	5,219	5,203
Saturno	9,174	9,555

Para justificar la discrepancia entre el valor que hemos obtenido r = 5,77 y el real, habrá que tener en cuenta que la órbita de la Tierra no es circular. Pero lo que aclara definitivamente el problema es saber que el 23 de Junio de 1981, la distancia heliocéntrica de Júpiter era de 5,454 debido a la excentricidad de su órbita. Sí Copérnico obtuvo el valor de 5,2 es preciso pensar que repitió sus cálculos por lo menos a lo largo de 12 años y promedió sus resultados para compensar el cambio en las distancias de Júpiter al Sol que fluctúan entre 5 454 y 4,951.

La excentricidad de los planetas.

Si las órbitas de los planetas fueran circulares y centradas en el Sol, es obvio que los distintos períodos sinódicos tendrían la misma duración. Pero desde Tolomeo, ya se sabía que esto no ocurría así.
Observando las fechas de muchas oposiciones de Marte, se sabía que el planeta tenía un periodo sinódico medio de 780 días, pero que en ocasiones entre dos oposiciones consecutivas, transcurrían sólo 764 días, mientras otras veces el periodo sinódico se alargaba hasta un máximo de 810 días.
Así Marte se adelantaba o retrasaba respecto a su marcha media hasta 23 días
Para Júpiter la irregularidad no era tan exagerada y sobre un valor medio entre oposiciones de 399 días éstas fluctuaban desde un máximo de 402 a un mínimo de 395, adelantándose o retrasándose respecto a la marcha media hasta 3,5 días.
Copérnico se vio también forzado a admitir que el centro de la órbita del planeta no era ocupado por el Sol sino que éste se encontraba con una posición excéntrica, pero suponía que el movimiento del planeta era uniforme respecto al centro del círculo.

Si llamamos e a la excentricidad de la órbita se cumplirá:

En un mismo tiempo recorre respecto a C un mismo arco PP' pero la velocidad angular (arco/radio) tendrá un valor máximo respecto a S, en el perihelio y un valor mínimo en el afelio:

Perihelio	Afelio

Expliquemos cualitatívamente la distinta duración de los periodos sinódicos. Debido a la excentricidad de la órbita, ésta no es recorrido con uniformidad. Cerca del perihelio el planeta va rápido y a la Tierra le cuesta más alcanzarlo, para lograr la oposición. En las proximidades del afelio, el planeta va lento y es rápidamente alcanzado por la Tierra.
Supongamos ahora un planeta como Júpiter o Saturno que por tardar mucho en recorrer su órbita, durante un año apenas se mueve, su período sinódico es sólo ligeramente superior al año. Supongamos que el planeta está cerca del afelio de modo que el periodo sinódico será mínimo. Por el contrario si se encuentra cerca del perihelio tendremos un periodo sinódico máximo. Para Marte el planeta está en oposición cada 780 días y puesto que su revolución siderea es de 687 días, da algo más de una vuelta, un año y 93 días, mientras la Tierra da algo más de dos vueltas, dos años y 50 días.
En esos 93 días extra para Marte, y 50 para la Tierra, ambos cuerpos recorren unos 50º por término medio así que cada oposición tiene lugar por término medio 50º más adelante de donde ocurrió la anterior. Si una oposición es aproximadamente afélica, la siguiente también lo será y lo mismo para las perihélicas
La auténtica solución al problema la facilitan las leyes de Kepler, los planetas describen órbitas alrededor del Sol que no son círculos excéntricos sino elipses y el movimiento no es uniforme respecto al centro del círculo sino que el radio Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La diferencia con el movimiento medio viene regida por la ecuación de centro que relaciona la anomalía media (M) y la anomalía verdadera (V) con la excentricidad e de la órbita del planeta.
En primer orden: V=M+2e sen M.
La relación ente los valores obtenidos por Copérnico y los reales siguiendo las leyes de Kepler es e=2e. Copérnico obtuvo valores que son la mitad de los reales.

TEORÍA HELIOCÉNTRICA DEL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS.