ASPECTOS MATEMÁTICOS DE LOS EPICICLOS Y DEFERENTES.

Supongamos que en un instante inicial, el centro del epiciclo ocupa un lugar A y el planeta el lugar A' y que ambos movimientos ocurren con la misma velocidad angular. Al cabo de un instante t el centro del epiciclo habrá girado un ángulo a y ocupado una posición B. Si el planeta no hubiese girado en su epiciclo ocuparía una posición B’ pues el deferente arrastra con él al propio epiciclo y al planeta. Debemos ahora considerar el giro adicional a del planeta sobre el epiciclo, ocupando una posición B". Mientras no se indique lo contrarío supondremos que los giros son positivos o anti-horarios. (Ver figura 13)

Si ambos giros no ocurren con la misma velocidad y el deferente es recorrido con una velocidad angular w 1, al cabo de un tiempo t:

El epiciclo recorrido con velocidad angular w 2 habrá efectuado un giro adicional:

En total el planeta arrastrado por el deferente, habrá girado un ángulo

Si R1 y R2 son los radios del deferente y del epiciclo se cumplirá para el movimiento del deferente:

Centrado en B el movimiento del planeta sobre el epiciclo es:

Así que el movimiento total:

Por tanto las ecuaciones cartesianas paramétricas del epiciclo deferente son:

De las ecuaciones cartesianas se obtienen las polares que son las que interesan en astronomía:

El estudio de todas las cuestiones de la astronomía tolemaica puede hacerse a partir de estas ecuaciones. Así a partir de ellas se podrá estudiar el periodo de tiempo que duran las retrogradaciones, cada cuanto tiempo se producen, cuanto dura la revolución sideral, etc...

No obstante aquí procederemos a tratar estos problemas de una forma más intuitiva.

Mientras que una elipse solo depende de dos, algunas combinaciones de los cuatro parámetros son incluso capaces de producir elipses.

Estudiemos de una forma intuitiva cada cuanto tiempo se produce un bucle o retrogradación.

Supongamos que el planeta ocupa una posición A, así la velocidad lineal del planeta en el epiciclo es mayor que la velocidad lineal del deferente y dado que el planeta era arrastrado por éste, se producirá en los alrededores de A un movimiento retrógrado. El tiempo transcurrido entre dos de tales bucles es igual al período en el que el planeta completa el epiciclo.

Así, si se ha producido un bucle en A, y en el supuesto de que el planeta no girase sobre su epiciclo, en virtud del arrastre, el planeta ocuparía una posición B. Si en B hay otro bucle es porque el planeta ha dado una vuelta completa al epiciclo. Así las duraciones respectivas de la revolución del epiciclo y deferente pueden ajustarse de tal forma que den cuenta de las retrogradaciones observadas.

Con una construcción geométrica o analítica puede verse que si el planeta de m vueltas completas sobre el epiciclo mientras que el centro de la Tierra y m/n es un número natural, entonces la figura producida se cierra sobre sí misma y el planeta emplea siempre el mismo tiempo en dar una vuelta a la eclíptica. Por otra parte, los bucles ocurren siempre en el mismo lugar del cielo. Nada de esto es observado en la realidad.

En este supuesto se producen un número natural K = m/n de bucles, y cada bucle ocurre cada 360/Kº. Suponiendo que el origen de tiempo la posición del planeta es la que se indica en la figura, el planeta está a mitad entre dos bucles y así el primer bucle ocurre a los 360/2Kº, y los demás a 360/2K +(360/K)l con l = 0, 1, 2,... K-1. Así los bucles ocurren para los ángulos (360/K).(l+1/2).

Ejemplo 1: el deferente da una vuelta mientras que el epiciclo da 4, m=4 n=1 nº de bucles = K = 4, que ocurren cada 360/K = 90º, es decir, habrá bucles a los 45º, 135º, 225º y 315º.

Ejemplo 2: sí m=5, n=1, K=5, ocurriendo los bucles a los 36º, 108º, 180º, 252º y 324º.

Sin embargo, el sistema de epiciclo-deferente contiene una simplificación que no es característica de ningún planeta. Los planetas no cierran su trayectoria ni los bucles ocurren siempre en el mismo lugar del cielo, ni las revoluciones sidéreas duran siempre lo mismo. Cuando se asignan periodos al epiciclo y al deferente para que se adapten a la realidad, el cociente periodo deferente / periodo epiciclo, nunca es un número natural.

El tiempo que emplea el planeta en recorrer la eclíptica (por término medio) es el tiempo empleado en recorrer el deferente y el tiempo entre dos retrogradaciones es el periodo del epiciclo.

La última columna de la tabla precedente indica que los coeficientes de ambos períodos no son un número entero.

En el movimiento de los planetas se observan los siguientes hechos:

Veamos como el sistema de Tolomeo explica los hechos.

Mercurio retrograda cada 116 días y tarda un año en recorrer la eclíptica. El epiciclo de Mercurio completa tres vueltas en 348 días, tiempo ligeramente inferior a un año. Por este hecho, la curva no se cierra sobre sí misma.

Veamos por que el planeta no emplea siempre el mismo tiempo en recorrer la eclíptica:.

Imaginemos que Mercurio empieza su revolución en medio de un bucle. Al completar una vuelta sobre el deferente, el planeta habrá completado tres vueltas sobre el epiciclo y 0,1487 de vuelta por lo que se encontrará en el punto P', por tanto el planeta Mercurio, por culpa del movimiento retrógrado, PP' sobre el epiciclo, no habrá completado una vuelta sobre la eclíptica.

Para ello con esta disposición tiene que transcurrir algo más de un año: el planeta ha descrito una vuelta lenta.

Supongamos ahora una disposición que le haga dar una vuelta rápida.

Mercurio empieza ahora la vuelta en P y al cabo de un año habrá completado tres vueltas sobre el epiciclo y 0,1487 de vuelta encontrándose en P’. Así Mercurio merced al movimiento directo P’, sobre el epiciclo ha completado su vuelta sobre la eclíptica en algo menos de un año.

Como estos periodos rápidos o lentos son los que realmente se miden, el tiempo en el que el deferente recorre su órbita será una media aritmética entre los sucesivos periodos sidéreos medidos.

Mientras los planetas inferiores solo son visibles en los crepúsculos matutino o vespertino, los superiores Marte, Júpiter y Saturno, eran visibles a cualquier elongación. Cuando se veían a medianoche estaban en oposición al Sol, presentando máximo brillo y retrogradando.

Para explicar esta atadura de Mercurio y Venus al Sol, Tolomeo les atribuía un epiciclo cuyo centro se situaba en la recta que unía el Sol con la Tierra.

Así mientras Júpiter y Saturno describían su epiciclo en algo más de un año, Mercurio y Venus empleaban este tiempo en describir su deferente.

Así pues, los papeles desempeñados por el epiciclo y el deferente están intercambiados en ambos tipos de planetas.

Los planetas inferiores, Mercurio y Venus, se limitan a oscilar alrededor del Sol, alejándose como máximo 23º Mercurio y 45º Venus. Cuando esto ocurría se decía que estaban en su máxima elongación oriental observándose como estrellas vespertinas o en su máxima elongación occidental, observándose como estrellas matutinas. (Ver Figura C y D).

Los planetas inferiores retrogradan desde que presentan su máxima elongación oriental hasta presentar su máxima elongación occidental, pasando de un lado al otro del disco solar.

El planeta dejaba de verse cuando estaba en las proximidades de la línea ST, que une el Sol con la Tierra, es decir, en las proximidades de sus conjunciones superior e inferior. (Ver Figura A y B respectivamente).

De la elongación máxima de Mercurio y Venus, se puede averiguar la relación entre los radios del epiciclo y deferente de estos planetas:

Es decir, 0,39 para Mercurio y 0,71 para Venus.

Al colocar a los planetas Mercurio y Venus, y el Sol, había quedado una arbitrariedad en su orden, pues los dos emplean un año en dar su revolución sidérea.

Por otra parte, según la teoría de Tolomeo, los radios del epiciclo y del deferente no tienen valores fijos, sino que lo importante es su relación. No cambian las posiciones celestes de los planetas si se mantiene la relación de radio entre epiciclo y deferente. Para demostrar esto consideraremos las ecuaciones paramétricas:

Así pues, la posición celeste del planeta, que viene fijada por j , sólo depende de la relación R2/R1 y no de sus valores absolutos.

Mientras que dicha relación está fijada por las elongaciones máximas para los planetas inferiores, nos queda una libertad total a la hora de elegir los radios del deferente; por lo tanto, Tolomeo nunca fijó dichos valores.

La órbita de Mercurio y Venus, podía tener sus deferentes entre el Sol y la Tierra o más allá del Sol. Tolomeo elige arbitrariamente a Mercurio más cerca de la Tierra y a Venus más lejos, pero entre la Tierra y el Sol.

Si como era factible hacerlo hubiese tomado los radios del deferente iguales para ambos planetas, e iguales a la distancia Sol-Tierra, hubiese hecho describir a los planetas inferiores órbitas alrededor del Sol, solución ya preconizada por los astrónomos egipcios, y que nos habría acercado al movimiento heliocéntrico.

Para los planetas superiores, la relación entre los radios del epiciclo y del deferente era totalmente libre.

Sin embargo, una elección adecuada permitía adaptar el movimiento producido al periodo de retrogradación observado.

Tolomeo procedía de la siguiente forma:

1.- Controlando la velocidad angular w 2 del planeta sobre el epiciclo, producía los bucles cada un determinado tiempo, T2 = 360/w 2, que hacía coincidir con el tiempo observado.

2.- Controlando la velocidad angular w l sobre el deferente, conseguía que el planeta diese la vuelta a la eclíptica en el periodo medio observado.

3.a) Para los planetas inferiores la máxima elongación le obligaba a tomar una relación entre el epiciclo y el deferente R2/R1 conocida.

3.b) Para los planetas superiores la relación R1/R2 debería elegirse para que se adaptase lo más posible al movimiento observado. Siendo lo más espectacular del movimiento planetario la retrogradación, es posible que Tolomeo, eligiese dicho factor tras una serie de pruebas para que ajustase lo más posible a dicho periodo de retrogradación. El periodo de retrogradación lo limitan dos posiciones estacionarías. El planeta estará estacionario cuando su velocidad (composición de la velocidad lineal del deferente y del epiciclo, y que, por tanto, depende de los cuatro parámetros R1, R2, w 1, w 2) esté en la dirección radial, y por tanto, su velocidad perpendicular sea nula. Se produce esta situación entre los puntos A y B (Ver Figura) que forman un ángulo j , antes y después de la oposición. Se demuestra que:

La duración de la retrogradación vale

Para los planetas inferiores se puede calcular con la expresión precedente la duración de las retrogradaciones que resulta ser de 23 días para Mercurio y de 42 días para Venus, en extraordinario acuerdo con lo observado.

Para los planetas superiores la relación R1/R2 puede ser fijada de forma que explique los 73 días que por término medio está retrogradando Marte, entonces R1/R2 = 1,47.

Para Tolomeo estas cifras carecían de significado no obstante coinciden bastante con las distancias heliocéntricas de los planetas al Sol:

Mercurio: R2/R1 = 0,39

Venus: R2/R1 = 0,71

Marte: R1/R2 = 1,47

El que para los planetas inferiores y superiores la relación esté invertida es por la falta de unidad del sistema tolemaico.

Variando los tamaños del epiciclo y el deferente y sus velocidades, puede describirse cualitativamente los dos grandes fenómenos de los cielos: la retrogradación y el tiempo diferente en describir la eclíptica. Incluso una adecuada elección permite dar una explicación cuantitativamente aproximada de sus oposiciones en el cielo, pero con todo ello no es sino un primer paso.

Al comparar el movimiento predicho por el sistema epiciclo-deferente con el real se hacen patentes una serie de irregularidades, menos importantes pero no desdeñables. Así el sistema de epiciclo-deferente permitió aislar observacionalmente una serie de irregularidades que de otra forma hubiesen pasado desapercibidas. Entre ellas destacaremos:

1.- El Sol, que no retrograda, al igual que la Luna, no describe su movimiento con uniformidad. La uniformidad lunar es aún menor.

2.- Los planetas, incluida la Luna, casi nunca están sobre la eclíptica.

3.- Los planetas no describen su deferente con regularidad.

Así pues, el sistema epiciclo-deferente no era la respuesta definitiva.

En lugar de exponer todas y cada una de las soluciones a los problemas presentados, intentaremos dar cuenta de las principales modificaciones del sistema epiciclo-deferente. Su aplicación al Sol es más sencilla, por eso la abordaremos preferentemente.

El gran problema que se plantea es la falta de uniformidad.

La teoría aristotélica presentaba el Universo más allá de la Luna como circular y uniforme. El sistema epiciclo-deferente explicaba, en primero orden, porque no eran ni circulares ni uniformes, pero a pesar de ello quedaban no uniformidades sin explicar. Así el movimiento del Sol estaba lejos de ser uniforme, pues la duración de las estaciones no era igual. En el próximo apartado estudiaremos la solución que da Tolomeo mediante las excéntricas. Ellas explicarán los retrasos o adelantos que presenta el Sol en ciertas épocas del año de hasta dos días. También se presentan desigualdades más importantes en los planetas. Así el adelanto o retraso de Marte puede alcanzar hasta 20 días; las duraciones entre dos retrogradaciones de Mercurio distan mucho de ser constantes; como la excéntrica solar será insuficiente para los planetas, debe ser introducido el punto ecuante.

En la antigüedad se habían observado los días en que el Sol atraviesa los equinoccios, pues durante esos días la sombra producida por un estilete vertical es una recta. Supongamos que esos días sean el 21 de Marzo y el 23 de Septiembre, que son respectivamente el día 80 y el 266 del año. Así entre el equinoccio de primavera y el de otoño transcurren:
266 - 80 = 186 días, mientras que el de Otoño y el de la primavera siguiente transcurren:
365 - 186 = 179 días. Por lo tanto, la Tierra tarda 7 días más en ir del equinoccio de primavera al de otoño que a la inversa.

Por lo tanto, hay contradicción con el gran principio de Aristóteles, según el cual la naturaleza no presentaría en el mundo, más allá de la Luna, otros movimientos que los circulares y uniformes.

Con el fin de explicar esta nueva falta de uniformidad o irregularidad, Hiparco introduce la excéntrica. Así la órbita del Sol alrededor de la Tierra será circular, pero la Tierra no ocupará el centro del círculo C, sino que se encontrará desplazada una cantidad CT en la dirección de los solsticios y hacia el solsticio de invierno.

Hiparco supone que el Sol gira en movimiento uniforme alrededor de C, y que emplea diferentes tiempos porque del equinoccio de primavera al de otoño que bisecan arcos distintos. El punto C, respecto al cual el movimiento angular es uniforme, se llama punto de igualdad.

Llamamos excentricidad del círculo:

Esta excentricidad es justo el doble que la real e =2e, siendo e la excentricidad de la órbita elíptica de Kepler. El error de Tolomeo es doble: ni la Tierra (o por movimiento relativo el Sol) describe un círculo ni su velocidad lineal en su órbita es constante.

Hoy sabemos, gracias a Kepler, que la órbita es una elipse, en uno de cuyos focos está el Sol y además el giro no es con velocidad angular constante sino siguiendo la ley de las áreas.

Para corregir estos efectos se vio obligado a doblar el valor de la excentricidad de 1/60 a 1/30. Cabría pensar que esta mayor excentricidad hizo que las distancias al Sol cambiasen lo suficiente como para detectar el error por observación del diámetro aparente del Sol. En efecto, si el Sol se mueve por la excéntrica hay momentos en que está muy cerca de la Tierra (perigeo) y se ve el diámetro solar mayor que cuando se encuentra más alejado. Sin embargo, la diferencia en el diámetro solar entre la hipótesis de Tolomeo y la realidad era solo de 15,4" de arco, frente a los 32’ del diámetro solar, así que no fue así como se detectó.

No es suficiente para los planetas explicar las retrogradaciones y la variación de la distancia a la Tierra, sino que es preciso explicar otras irregularidades de los movimientos planetarios.

Tolomeo inclinando el deferente con respecto a la eclíptica consiguió explicar las desviaciones de los planetas, al norte o al sur con respecto al plano de la eclíptica. Ignoraba la naturaleza elíptica de las órbitas que suponía circulares, pero la observación le había enseñado que su movimiento aparente distaba mucho de ser uniforme. Para explicar la desigual duración de las estaciones por la falta de uniformidad del Sol inventó la excéntrica, pero mientras el Sol presentaba atrasos y adelantos de dos días, el atraso o adelanto de Marte puede llegar hasta 20 días. Esto se aprecia bien en las fechas en las que ocurren las oposiciones de Marte. En la tabla 1 de se ofrecen las oposiciones de Marte entre los años 1920 y 1960, se observa que el periodo entre oposiciones varía desde un mínimo de 764 a un máximo de 810. Así pues la excéntrica que funcionaba bien para representar el movimiento del Sol era insuficiente para el caso de Marte. Para este planeta así como para Júpiter y Saturno, Tolomeo tuvo que imaginar el llamado excéntrico con ecuante.

Tolomeo empezó por situar la Tierra en una posición excéntrica respecto al deferente del planeta y fijó los valores adecuados de la excentricidad CT/CP con el fin de que el movimiento se adaptase lo más posible al observado.

Para los planetas superiores asignó una excentricidad:

Siéndole imposible en estas condiciones considerar constante la velocidad en la órbita tuvo que recurrir a una hipótesis respecto a su variación.

Consideró un punto T’ simétrico al T respecto a C, de modo que el movimiento angular era uniforme respecto a T’, que por tanto se llamó punto de igualdad. En tiempos iguales los ángulos PT’B y P’T’B son iguales, pero como los radios B’T’ y T’B no son iguales, así el arco PB es mayor que el P’B’; así es que, respecto a la Tierra los ángulos BTP y P’TB’ descritos en tiempos iguales, no son iguales, siendo mayor la velocidad angular en la parte de la circunferencia más próxima a la Tierra.

Este es un precedente muy bueno de la ley de las áreas de Kepler, cuyo efecto intenta suplir. Cuantitativamente ambas leyes no producen exactamente los mismos efectos. Sin embargo su supervivencia fue enorme. Tras haber resuelto Kepler totalmente el problema planetario, con el enunciado de sus tres leyes, siguió usándose la ley de Tolomeo del ecuante en sustitución de la ley de las áreas hasta que Newton elevó las leyes de Kepler a pilar fundamental de la mecánica celeste.