LA ELIPSE

Sabemos que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante 2a llamada eje mayor de la elipse.
La definición tiene sentido si la distancia entre los focos F y F' es menor que el eje mayor de la elipse: d(F,F')=2c<2a
En el dibujo F' ocuparía una posición simétrica a F respecto a O.
La distancia OF es la semidistancia focal c. El corte de la elipse con el eje y determina el semieje menor b
Del triángulo rectángulo se cumple: a2=b2+c2
A la cantidad c/a se llama excentricidad de la elipse e. Se cumple: 0<e<1.
Se puede demostrar que los puntos P(x,y) de la elipse cumplen:

  1. El radio vector

    El radio vector r dibujado vale:

    r1=a-ex. El otro radio vector r2=a+ex, de modo que r1+r2=2a

  2. Ecuaciones paramétricas de la elipse

    [elip2.gif] Sea la elipse y su circunferencia princial.
    Al punto P de la elipse le corresponde el punto P' de la circunferencia principal.
    El ángulo E se puede usar como parámetro para expresar las coordenadas de la elipse.
    Sabemos que la relación de afinidad entre las ordenadas de la elipse y la circunferencia principal es:
    [elip4.gif]
    Nota: Desde el punto de vista astronómico E es muy importante y se conoce como anomalía excéntrica del planeta.

  3. Radio vector del planeta y anomalía excéntrica

    Se cumple:
    r =a-e.x y como x=a.cos E resulta r =a-e.acos E=a.(1-e.cosE)

  4. Ecuación polar de la elipse

    Todo punto P(x,y) de la elipse se puede describir por dos números:
    El módulo r del vector FP y por el ángulo V que forma el vector FP con la parte positiva del eje X.
    Se llaman coordenadas polares de P(r,V).
    Nota: El ángulo V se empieza a contar desde el perihelio del planeta y es muy importante en Astronomía
    Se cumple:

    [elip5.gif]

  5. Una relación útil

    Dado que x-c=rcos V y x=a cos E
    se cumple: rcosV=a(cosE-e)

  6. La ley de las áreas: 2ª ley de Kepler

    Al moverse el planeta sobre la elipse su radio vector barre un área. Kepler averigüó experimentalmente basándose en el movimiento de Marte que las áreas barridas en tiempos iguales eran iguales y por tanto el planeta se mueve con mayor rapidez cerca del perihelio que del afelio.
    Matemáticamente:
    [elip6.gif]
    Supongamos que el planeta pasa de A a B en un tiempo dt
    [elip3.gif]
    El área barrida es:
    [elip7.gif]

  7. La anomalía media

    Los planetas alrededor del Sol cumplen la ley de las áreas y por tanto su movimiento no es uniforme. Interesará comparar su movimiento con el de una astro, por supuesto ficticio, que se desplaza con movimiento uniforme de velocidad angular n.
    La anomalía media es el ángulo formado con el perihelio, por un móvil ficticio que se desplace con movimiento medio n. Si to es el instante de paso por el perihelio:M=n(t-to)

  8. La ecuación de Kepler

    Relaciona la anomalía media del cuerpo ficticio con la anomalía excéntrica del planeta: M=E-e.sen E
    Para obtener esta ecuación hay que recurrir a la ley de las áreas , al integrar en ambos miembros obtenemos:
    [elip9.gif]
    Mientras la segunda integral es inmediata, la primera tras sustituir r por su forma polar, no es fácil de hacer. Se puede demostrar que rdV=bdE así que:
    [elip10.gif]
    Esta ecuación donde, para un tiempo dado, M y e son datos y la incógnita es E es trascendente y por tanto no se puede resolver por álgebra.
    El mejor método es el iterativo.
    Consiste en que la excentricidad de los planetas e es pequeña y en la aproximación inicial se puede despreciar:
    E0=M. Con esta solución inicial se obtiene un mejor valor:
    E1 =M+e sen E0
    E2 =M+e sen E1
    E3 =M+e sen E2
    hasta que dos iteraciones en E se diferencien en una cantidad menor que el error asumido.
    Las calculadores, lenguajes de programación, hojas de cálculo de informática, resuelven bien este problema.

  9. Aproximaciones: La ecuación de Centro

    E=M+e.sen E=M+e.sen(M+e.senE)= M+e.senM.cos(esenE)+e.cosM.sen(e.senE)
    Si despreciamos segundo orden en e frente a primero por ser e pequeño queda aproximadamente que: E=M+e.senM
    Análogamente cos E=cos(M+e.senM)=cosM.cos(e.senM)-senM.sen(e.senM)= cosM-e.sen2M
    r=a.(1-e.cosE)=a.(1-e.(cosM-e.sen2M))=a.(1-e.cosM)
    r2=a2.(1-e.cosM)2=a2.(1-2.e.cosM)
    Por la ley de las Areas:
    [elip8.gif]
    C es la ecuación de Centro, es decir, lo que se desvía el planeta del movimiento medio por la ley de las áreas.