Circunstancias locales

El método para calcular las circunstancias locales de un eclipse a partir de sus elementos besselianos se basa en el hecho de que al empezar y acabar el eclipse, las distancias que separan el observador del eje del cono de sombra es igual al radio de la penumbra en el punto de observación. Para el principio y fin de la fase de totalidad o anularidad es igual al radio de la sombra al punto de observación.

Ejercicio:

Calculemos las circunstancias locales del eclipse del 11 de Agosto de 1999 en la localidad de Valencia longitud 0º20'54"W y latitud 39º28'28"N y una altura de 2m sobre el nivel del mar. Consideremos TD-TU=63,5 seg.
Se empieza calculando RSIN, RCOS para el lugar de observación teniendo presente la altura del observatorio.
Posición del observatorio:
Latitud=39,47444444Longitud=0,3483333altura (m)=2
u=0,687311476RSIN=0,63233434RCOS=0,77295481

Empezamos considerando t=0 a partir de T0 y calculamos los valores de X,Y, d, M, L1 ,L2 y las variaciones horarias X' e Y'

Primera Aproximación

1ªAproximación
t=0
X=X0=0,07
Y=Y0=0,502671
M=M0=343,68741
d=d0=15,32734
X'=0,5443035
Y'=-0,1184929
Si TD-TU=63,5 seg para este eclipse encontramos para esta longitud L (medida positivamente hacia el W de Greenwich) un ángulo horario del observador: H=M-L-0,00417807.63,5=343º,0737693
Entonces calculamos:

Ahora calculemos:
u=X-P=0,295038222
v=Y-Q=0,088294629
a=X'-VP=0,350672048
b=Y'-VQ=-0,103101555
n2=a2+b2n=0,365514454
L1=L10+L11*t+L12*t20,542462
L1'=L1-R*tan f1=0,538401191

La corrección para el tiempo en el momento del máximo es:
tau=-(u*a+v*b)/n2=-0,706270718
t=0+tau=-0,706270718
Para el cálculo del primer y último contacto se calcula :

Para i=0 (máximo del eclipse) tenemos
L1=0,542462
L1'=0,538401191
S=0,311907577
tau1=1,39951148
tau=-0,706270718
t=-0,706270718

Segunda Aproximación y siguientes

2ª Aproxim.3ª Aproxim.4ª Aproxim.5ª Aproxim.
t=-0,70627072-0,71189782-0,71201626-0,71201877
X=-0,31444304-0,31750614-0,31757061-0,31757198
Y=0,586300710,586966540,586980550,58698085
M=333,091242333,006819333,005042333,005005
d=15,335838515,335906215,335907615,3359076
X'=0,544348790,544349050,544349060,54434906
Y'=-0,1183268-0,11832545-0,11832543-0,11832543
H=332,477602332,393178332,391401332,391364
P=-0,35717881-0,35818845-0,3582097-0,35821015
Q=0,428525130,428663540,428666460,42866652
R=0,828308740,827800980,827790280,82779005
VP=0,179493830,179355830,179352920,17935286
VQ=-0,0245619-0,02463203-0,02463351-0,02463354
u=0,042735770,040682310,040639080,04063816
v=0,157775570,1583030,158314090,15831433
a=0,364854960,364993220,364996140,3649962
b=-0,0937649-0,09369342-0,09369192-0,09369189
n=0,376710760,37682690,376829350,3768294
L1=0,542374020,542373280,542373260,54237326
L1'=0,538553120,538554710,538554750,53855475
S=0,303493170,303491710,30349170,30349169
tau1=1,362189691,361774561,36176581,36176561
tau=-0,00562711-0,00011843-2,5103E-06-5,3215E-08
t=-0,71189782-0,71201626-0,71201877-0,71201882

Tras cinco iteraciones:
Máximo eclipse:Instante(TD)=HoraMinutosSegTU
10,2879811810171610h 16m 12s
Primer Contacto Instante(TD)=HoraMinutosSegTU
8,971134647858168h 57m 12s
Último contacto Instante(TD)=HoraMinutosSegTU
11,702132691142711h 41m 3s

Características locales del eclipse:
magnitud, ángulos de posición de la Luna y altura del Sol

La magnitud local máxima G del eclipse se calcula mediante la fórmula:

El ángulo de posición del centro de la Luna medido desde el Punto Norte del limbo del Sol y hacia es Este se da mediante la expresión: (estas fórmulas son validas en todo instante y no sólo en el máximo)

siendo h la altura del Sol sobre el horizonte.
Para resolver la ambigüedad cosq tiene el mismo signo que Q.
Si en el momento del máximo G es negativo o el Sol está por debajo del horizonte, significa que no hay eclipse en este lugar.
Si en el momento del máximo el valor absoluto de L'2 es mayor que m el eclipse es total o anular, siendo total si L'2 es negativo y anular si es positivo.
De la última iteración, y para el máximo obtenemos los valores:
Características locales del eclipse:
L1=0,54237326
L1'=0,538312451
L2=-0,003731617
L2'=-0,007772267
u=0,040638165
v=0,158314328
m=0,163446893Parcial
G=0,706573356Magnitud máxima del eclipse
A=1,029299447Diametro Luna/Diámetro Sol
tg Pm=0,256692907
Pm=14,396589214,3965892
H=332,3913638332,391364
d=15,33590762
altura=55,87287038Si hay eclipse en esta localidad
sen q=-0,637620932
q=-39,61464629
Zm=54,01123549Ángulo Zm

Para el primer contacto:

Características locales del eclipse:
L1=0,542179749
L1'=0,538118941
L2=-0,003926503
L2'=-0,007967153
u=-0,465765839
v=0,27141846
m=0,539078656no aplicable
G=-0,001810264no aplicable
A=1,030056119Diametro Luna/Diámetro Sol
tg Pm=-1,716043333
Pm=-59,76911066300,230889
H=312,6347368312,634737
d=15,35174505
altura=42,25892007No aplicable
sen q=-0,76729118
q=-50,11125846
Zm=350,3421478Ángulo Zm

Para el último contacto:

Características locales del eclipse:
L1=0,542538586
L1'=0,538477778
L2=-0,003567131
L2'=-0,00760778
u=0,538205625
v=0,012487214
m=0,538350467no aplicable
G=0,000239814no aplicable
A=1,028661557Diametro Luna/Diámetro Sol
tg Pm=43,1005369
Pm=88,6708865888,6708866
H=353,607854353,607854
d=15,31888835
altura=65,20437561No aplicable
sen q=-0,20491694
q=-11,82463686
Zm=100,4955234Ángulo Zm

En resumen

Eclipse 11/8/1999 Circunstancias locales en Valencia:
Fenómeno:T.U.Altura SolPmZm
Primer Contacto 8h 57m 2s42,26300,23350,34
Máximo eclipse:10h 16m 12s55,8714,3954,01
Último contacto 11h 41m 3s65,2088,67100,49
E. ParcialMagnitud=0,70661,029=Relación Luna/Sol

Hay un programa en basic que permite obtener estos resultados.
Análogamente mediante el fichero excel se puede calcular la Características locales de un eclipse para todos los eclipses hasta el año 2200.

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