El científico no estudia la naturaleza porque es útil, sino porque le cautiva, y lo cautiva porque es bella. Si la naturaleza no fuera hermosa, no valdría la pena conocerla, y si no valiera la pena conocerla, tampoco valdría la pena vivir. Por supuesto, no me refiero aquí a la belleza que estimula los sentidos, la de las cualidades y las apariencias; no es que la desdeñe, en absoluto, sino que ésta nada tiene que hacer con la ciencia. Me refiero a la belleza más profunda, la que procede del orden armonioso de las partes y que puede captar una inteligencia pura.
Cuando una disciplina matemática se aleja de su origen empírico, o más aún, si pertenece a una segunda o una tercera generación, inspirada sólo en forma indirecta por ideas procedentes de la “realidad”, llevará implícitos graves peligros. Se hará cada vez más puramente esteticista, es decir, se acercará cada vez más l´art pour l´art. Esto no es necesariamente malo, si el campo está rodeado por temas correlacionados, que tienen todavía conexiones empíricas estrechas, o bien, si la disciplina se encuentra bajo la influencia de hombres que tengan un gusto excepcionalmente bien desarrollado; sin embargo, existe el peligro grave de que el tema se desarrolle siguiendo la línea de menor resistencia y que la corriente, lejos de su origen, se escinde en una multitud de ramificaciones insignificantes y que la disciplina llegue a convertirse en una masa desorganizada de detalles y complejidades. En otras palabras, que se aleje demasiado de sus orígenes empíricos, y que después de una “reproducción consanguínea” excesiva de estudios abstractos, los temas matemáticos estén en peligro de degeneración.
En la misma forma en que la deducción debe complementarse con la intuición, el proceso hacia la generalización progresiva debe templarse y equilibrarse con respeto y amor hacia los detalles particulares. El problema individual no debe degradarse a la categoría de ilustración especial de elevadas teorías generales. De hecho, las teorías generales surgen de la toma en consideración de lo específico, y carecen de sentido si no sirven para aclarar y ordenar las substancias más particulares. La esencia profunda de las matemáticas vivas es el juego recíproco entre lo general y lo particular, la deducción y la construcción, la lógica y la imaginación. Cualquiera de estos aspectos de las matemáticas puede encontrarse en el centro de una realización dada. En un desarrollo de largo alcance, se incluirán todos ellos. En general, ese desarrollo partirá de bases “ concretas”, desechará lastre por medio de la abstracción y se elevará hacia las capas altas de aire enrarecido, donde son fáciles la navegación y las observaciones; después de ese vuelo, llega la prueba crucial , el aterrizaje y el alcance de metas específicas en las llanuras bajas y recién investigadas de la “realidad” individual. En resumen, el vuelo hacia lo abstracto y general debe partir y regresar a lo concreto y específico.